کارآمدی نامعقولِ ریاضیات در علوم طبیعی
«کارآمدی نامعقولِ ریاضیات در علوم طبیعی»
یوگین ویگنر
«ریاضیات، اگر درست به آن بنگریم، نهفقط حقیقت، بلکه زیباییِ برتر را نیز در خود دارد: زیباییای سرد و سختگیرانه، همانند زیباییِ پیکرهسازی؛ بیآنکه به بخشهای ضعیفترِ سرشت ما متوسل شود، بیآنکه زرقوبرقِ نقاشی یا موسیقی را داشته باشد؛ اما بهغایت ناب و والا، و قادر به کمالی سختگیرانه که تنها بزرگترین هنرها میتوانند نشان دهند. آن روحِ راستینِ سرور، آن برانگیختگی، آن احساسِ «بیش از انسان بودن» که سنگِ محکِ والاترین برتری است، در ریاضیات به همان قطعیت یافت میشود که در شعر.»
— برتراند راسل، مطالعهای دربارهی ریاضیات
داستانها و طرح مسئله
داستانی هست دربارهی دو دوست که همکلاسیِ دوران دبیرستان بودند و دربارهی کارهایشان صحبت میکردند. یکی از آنها آمارشناس شده بود و روی روندهای جمعیتی کار میکرد. او یک نسخه چاپِ مجدد (reprint) را به همکلاسیِ سابقش نشان داد. آن نسخه، طبق معمول، با توزیع گاوسی شروع میشد و آمارشناس برای همکلاسیاش توضیح داد که نمادها چه معنایی دارند: برای جمعیتِ واقعی، برای جمعیتِ میانگین، و مانند اینها. همکلاسی کمی ناباور بود و کاملاً مطمئن نبود که آیا آمارشناس دارد سرِ به سرش میگذارد یا نه. پرسید: «از کجا میدانی؟» و بعد گفت: «این نماد اینجا چیست؟» آمارشناس گفت: «اوه، این پی است.» — «پی چیست؟» — «نسبت محیطِ دایره به قطرش.» همکلاسی گفت: «خب، حالا دیگر شوخیات را خیلی کش دادی؛ مسلماً جمعیت هیچ ربطی به محیطِ دایره ندارد.»
طبیعی است که به سادگیِ نگاهِ آن همکلاسی لبخند بزنیم. با این حال، وقتی این داستان را شنیدم، مجبور شدم اعتراف کنم که احساسی غریب و وهمآلود به من دست داد؛ چون واکنشِ آن همکلاسی، در واقع، چیزی جز عقلِ سلیمِ معمولی را نشان نمیداد. چند روز بعد، گیجتر هم شدم؛ وقتی کسی نزد من آمد و حیرتش را بیان کرد [این سخن را اف. ورنر هنگامی که دانشجوی پرینستون بود گفته است] از این واقعیت که ما هنگام انتخاب دادههایی که با آنها نظریههایمان را میآزماییم، انتخابی نسبتاً محدود و تنگدامنانه انجام میدهیم. او گفت: «از کجا میدانیم که اگر نظریهای بسازیم که توجهش را بر پدیدههایی متمرکز کند که ما نادیده میگیریم و در عوض بعضی از پدیدههایی را که اکنون توجه ما را به خود مشغول کردهاند کنار بگذارد، نمیتوانیم نظریهی دیگری بنا کنیم که اشتراک چندانی با نظریهی فعلی نداشته باشد، اما با این وجود، درست به همان اندازه پدیدهها را توضیح دهد؟» باید پذیرفت که هیچ شاهد قطعیای نداریم که چنین نظریهای وجود ندارد.
دو داستانِ پیشگفته، دو نکتهی اصلی را که موضوع گفتار حاضر است روشن میکند. نکتهی اول این است که مفاهیم ریاضی در پیوندهایی کاملاً غیرمنتظره ظاهر میشوند. افزون بر این، در چنین پیوندهایی اغلب امکان میدهند پدیدهها با دقت و نزدیکیِ شگفتآوری توصیف شوند. نکتهی دوم این است که دقیقاً به سبب همین وضعیت—و نیز از آن رو که دلیلِ سودمندیِ این مفاهیم را نمیفهمیم—نمیتوانیم بدانیم آیا نظریهای که با مفاهیم ریاضی صورتبندی شده، بهطور یگانه و منحصربهفرد «مناسبترین» نظریه است یا نه. ما در وضعیتی شبیه به وضعِ کسی هستیم که دستهای کلید به او دادهاند و او باید چندین در را پشتِ سر هم باز کند، اما هر بار در نخستین یا دومین کوشش، همواره کلید درست را مییابد. چنین کسی نسبت به یگانگیِ هماهنگیِ میانِ کلیدها و درها بدگمان میشود.
بیشتر آنچه دربارهی این پرسشها خواهم گفت تازه نیست؛ احتمالاً برای بسیاری از دانشمندان به شکلی یا شکل دیگر پیش آمده است. هدف اصلیِ من این است که این موضوع را از چند سو روشن کنم. نکتهی اول این است که سودمندیِ عظیمِ ریاضیات در علوم طبیعی چیزی است که به مرزِ رازآلود بودن نزدیک میشود و هیچ توضیح عقلانیِ قانعکنندهای برای آن وجود ندارد. نکتهی دوم این است که درست همین سودمندیِ شگفت و رازگونهی مفاهیم ریاضی است که پرسشِ «یگانگیِ نظریههای فیزیکی ما» را مطرح میکند. برای تثبیتِ نکتهی اول—اینکه ریاضیات نقشی بهطرز نامعقولی مهم در فیزیک بازی میکند—مفید است چند کلمهای بگوییم دربارهی اینکه: «ریاضیات چیست؟» سپس «فیزیک چیست؟» سپس اینکه ریاضیات چگونه وارد نظریههای فیزیکی میشود، و در پایان اینکه چرا موفقیت ریاضیات در نقشِ خود در فیزیک تا این حد گیجکننده مینماید. دربارهی نکتهی دوم—یگانگیِ نظریههای فیزیک—بسیار کمتر سخن گفته خواهد شد؛ زیرا پاسخ درست به این پرسش نیازمند کارِ آزمایشی و نظریِ گستردهای است که تا امروز انجام نشده است.
ریاضیات چیست؟
کسی زمانی گفته است: فلسفه، سوءاستفاده از واژگان و اصطلاحاتی است که دقیقاً برای همین منظور اختراع شدهاند. [این جمله از کتابِ و. دوبیسلاو، فلسفهی ریاضیات در زمان حاضر (برلین: ۱۹۳۲)، ص. ۱ نقل شده است.] به همین سیاق، من میگویم: ریاضیات علمِ انجامِ عملیاتِ ماهرانه با مفاهیم و قواعدی است که دقیقاً برای همین منظور ابداع شدهاند. تأکید اصلی بر اختراعِ مفاهیم است. اگر قرار بود قضیههای جالبِ ریاضی فقط با مفاهیمی بیان شوند که از پیش در اصول (axioms) آمدهاند، ریاضیات خیلی زود از قضیههای جالب تهی میشد. افزون بر این، هرچند بیتردید درست است که مفاهیمِ ریاضیاتِ ابتدایی—بهویژه هندسهی ابتدایی—برای توصیفِ چیزهایی صورتبندی شدهاند که جهانِ واقعی مستقیماً به ذهن پیشنهاد میکند، اما به نظر میرسد این سخن دربارهی مفاهیم پیشرفتهتر صادق نیست؛ بهخصوص دربارهی همان مفاهیمی که در فیزیک نقشی چنین مهم دارند.
برای نمونه، قواعدِ عمل با «زوجعددها» آشکارا طوری طراحی شدهاند که همان نتایجِ عمل با کسرها را بدهند؛ کسرهایی که ما نخستین بار بدون ارجاع به «زوجعددها» یاد گرفته بودیم. قواعدِ عمل با دنبالهها—یعنی با اعداد گنگ—هنوز در همان رده از قواعد قرار میگیرند: قواعدی که برای بازتولیدِ شیوههای عمل با کمیتهایی تعیین شدهاند که از قبل برای ما شناخته بودند. اما بیشترِ مفاهیمِ پیشرفتهی ریاضی—مانند اعداد مختلط، جبرها، عملگرهای خطی، مجموعههای بورل—و این فهرست را میتوان تقریباً بیپایان ادامه داد—به گونهای ابداع شدهاند که موضوعاتی مناسب باشند تا ریاضیدان بتواند نبوغ و حسِّ زیباییِ صوریِ خود را در آنها نشان دهد. در واقع، خودِ تعریفِ این مفاهیم—همراه با این دریافت که میتوان دربارهشان ملاحظاتِ جالب و زیرکانه بهکار برد—نخستین نمایشِ نبوغِ همان ریاضیدانی است که آنها را تعریف میکند. ژرفای اندیشهای که صرفِ صورتبندیِ مفاهیم ریاضی میشود، بعدها با مهارتی که آن مفاهیم بهکار گرفته میشوند توجیه میگردد. ریاضیدان بزرگ، قلمروِ استدلالهای مجاز را بهطور کامل—و تقریباً بیرحمانه—بهرهبرداری میکند و تا مرزِ استدلال نامجاز پیش میرود. اینکه بیپرواییِ او به باتلاقی از تناقضها نمیانجامد، خود معجزهای است: واقعاً سخت است باور کنیم که توانِ استدلالِ ما در فرایند انتخاب طبیعیِ داروینی به چنان کمالی رسیده باشد که گویی اکنون دارد. با این حال، موضوعِ بحثِ حاضر این نیست.
نکتهی اصلی که باید بعداً به یاد آورده شود این است که ریاضیدان بدون تعریفِ مفاهیمی فراتر از آنچه در اصول آمده، فقط میتواند شمار اندکی قضیهی جالب صورتبندی کند؛ و مفاهیمی که بیرون از اصول تعریف میشوند، با هدفِ امکان دادن به عملیات منطقیِ زیرکانه تعریف میگردند—عملیاتی که هم در خودِ روندِ کار و هم در نتایجِ بسیار کلی و سادهشان، حس زیباییشناختیِ ما را برمیانگیزند. [م. پولانی در کتاب دانش شخصی (شیکاگو: ۱۹۵۸) میگوید: «همهی این دشواریها تنها پیامدِ امتناعِ ما از دیدنِ این نکتهاند که ریاضیات را نمیتوان تعریف کرد مگر با پذیرفتنِ آشکارترین ویژگیاش: یعنی اینکه ریاضیات جالب است» (ص. ۱۸۸).]
اعداد مختلط نمونهای بهخصوص چشمگیر از گفتههای بالا هستند. بهطور قطع، هیچ چیز در تجربهی ما، پیشنهاددهندهی وارد کردنِ این کمیتها نیست. در واقع، اگر از یک ریاضیدان خواسته شود علاقهاش به اعداد مختلط را توجیه کند، با اندکی دلخوری اشاره خواهد کرد به قضیههای زیبای بسیار در نظریهی معادلات، سریهای توانی، و نظریهی توابع تحلیلی بهطور کلی، که سرچشمهی خود را مدیونِ ورودِ اعداد مختلطاند. ریاضیدان حاضر نیست از علاقهاش به این دستاوردهای بسیار زیبای نبوغش چشم بپوشد. [خواننده شاید در این ارتباط به سخنان تندِ هیلبرت دربارهی شهودگرایی علاقهمند باشد؛ شهودگرایی «میکوشد ریاضیات را تکهتکه کند و آن را از ریخت بیندازد»، Abh. Math. Sem., Univ. Hamburg (۱۹۲۲)، یا Gesammelte Werke (برلین: ۱۹۳۵)، ص. ۱۸۸.]
فیزیک چیست؟
فیزیکدان علاقهمند است قوانینِ طبیعتِ بیجان را کشف کند. برای فهمِ این جمله، لازم است مفهومِ «قانون طبیعت» را تحلیل کنیم.
جهانِ پیرامونِ ما از پیچیدگیِ گیجکنندهای برخوردار است و آشکارترین واقعیت دربارهی آن این است که ما نمیتوانیم آینده را پیشبینی کنیم. گرچه لطیفهها این دیدگاه را فقط به خوشبین نسبت میدهند که آینده نامطمئن است، در این مورد خوشبین حق دارد: آینده پیشبینیناپذیر است. همانگونه که شرودینگر گفته است، این خود معجزهای است که با وجودِ پیچیدگیِ گیجکنندهی جهان، برخی نظممندیها در رویدادها کشفپذیر شدهاند. یکی از این نظممندیها—که گالیله کشف کرد—این است که دو سنگ که همزمان از یک ارتفاع یکسان رها شوند، همزمان به زمین میرسند. قوانین طبیعت با چنین نظممندیهایی سروکار دارند. نظممندیِ گالیله نمونهی الگوییِ یک طبقهی بزرگ از نظممندیهاست. این نظممندی از سه جهت شگفتآور است.
نخستین دلیلِ شگفتانگیز بودنش این است که این امر نه فقط در پیزا و در زمانِ گالیله، بلکه در همهجای زمین درست است، همیشه درست بوده و همیشه درست خواهد بود. این ویژگیِ نظممندی را یک ویژگیِ «ناوردا» میشناسند؛ و همانطور که زمانی پیشتر فرصت داشتم اشاره کنم، بدون اصول ناوردایی شبیه به آنچه در این تعمیمِ مشاهدهی گالیله نهفته است، فیزیک ممکن نبود.
ویژگی شگفتآور دوم این است که نظممندیِ مورد بحث، مستقل از شمار فراوانی از شرایطی است که میتوانستند بر آن اثر بگذارند. فرقی نمیکند باران بیاید یا نیاید؛ فرقی نمیکند آزمایش در اتاق انجام شود یا از برج کج؛ فرقی نمیکند کسی که سنگها را رها میکند مرد باشد یا زن. حتی اگر دو سنگ بهطور همزمان و از یک ارتفاعِ یکسان توسط دو نفرِ متفاوت رها شوند، باز هم نتیجه برقرار است. آشکارا، بیشمار شرط دیگر نیز وجود دارد که از نظر اعتبارِ نظممندیِ گالیله بیربطاند. بیربط بودنِ این همه شرایطی که میتوانستند در پدیده نقش داشته باشند نیز «ناوردایی» نامیده شده است. با این حال، این ناوردایی با ناورداییِ پیشین از جنسی دیگر است، زیرا نمیتوان آن را به صورت یک اصلِ کلی صورتبندی کرد. کاوشِ اینکه کدام شرایط بر پدیده اثر میگذارند و کدام شرایط اثر نمیگذارند، بخشی از اکتشافِ تجربیِ اولیهی یک حوزه است. مهارت و نبوغِ آزمایشگر است که پدیدههایی را به او نشان میدهد که فقط به مجموعهای نسبتاً محدود از شرایط—شرایطی نسبتاً آسان برای تحقق و بازتولید—وابستهاند. [در این باره، بنگرید به مقالهی تصویریِ م. دویچ، Daedalus 87، 86 (1958). ا. شیمونی توجه مرا به گذرگاهی مشابه در کتابِ سی. اس. پیرس، مقالات در فلسفهی علم (نیویورک: 1957)، ص. 237 جلب کرد.] در مورد حاضر، محدود کردنِ مشاهدههای گالیله به اجسام نسبتاً سنگین، مهمترین گام در این جهت بود. باز هم درست است که اگر هیچ پدیدهای وجود نداشت که مستقل از همه چیز جز مجموعهای کوچک و قابلمدیریت از شرایط باشد، فیزیک ناممکن میشد.
دو نکتهی پیشگفته، هرچند از دیدگاه فیلسوف بسیار پرمعنا هستند، اما آنهایی نبودند که بیش از همه گالیله را شگفتزده کردند، و نیز خودشان یک «قانون طبیعت» مشخص را در بر ندارند. قانون طبیعت در این گزاره نهفته است که مدت زمانی که لازم است یک جسم سنگین از ارتفاعی معین سقوط کند، مستقل از اندازه، جنس، و شکلِ جسمِ سقوطکننده است. در چارچوب «قانون» دوم نیوتن، این به این معناست که نیروی گرانشیِ وارد بر جسمِ در حال سقوط با جرم آن متناسب است، اما مستقل از اندازه، جنس، و شکلِ جسمِ سقوطکننده است.
بحثِ پیشگفته قرار است نخست این نکته را به یاد ما بیاورد که وجودِ «قوانین طبیعت» اصلاً چیز طبیعی و بدیهیای نیست، چه رسد به اینکه انسان بتواند آنها را کشف کند. [شرودینگر در کتابِ زندگی چیست؟ (کمبریج: 1945)، ص. 31 میگوید این معجزهی دوم شاید فراتر از فهم انسان باشد.] نویسندهی این سطور زمانی پیشتر توجه داده بود به توالیِ لایههای «قوانین طبیعت»—که هر لایه قوانین کلیتر و فراگیرتری از لایهی پیشین را در بر دارد—و اینکه کشفِ هر لایه نفوذی عمیقتر به ساختار جهان است نسبت به لایههایی که پیشتر شناخته شده بودند. با این حال، نکتهای که در متنِ حاضر مهمتر است این است که همهی این قوانین طبیعت، حتی در دورترین پیامدهایشان، فقط بخش کوچکی از دانستههای ما دربارهی جهانِ بیجان را شامل میشوند.
تمام قوانین طبیعت گزارههایی شرطیاند که به ما اجازه میدهند برخی رویدادهای آینده را بر پایهی دانستنِ وضعیتِ حاضر پیشبینی کنیم—با این قید که برخی جنبههای وضعیت حاضرِ جهان، و در عمل اکثریتِ قاطعِ تعیینکنندههای وضعیت حاضر، از نظر این پیشبینی بیربطاند. این بیربطی به همان معنایی است که در نکتهی دومِ بحثِ قضیهی گالیله گفته شد. [نویسنده یقین دارد لازم نیست یادآوری کند که قضیهی گالیله، آنگونه که در متن آمده، همهی محتوای مشاهدههای گالیله دربارهی قوانین اجسامِ آزادانه سقوطکننده را در بر نمیگیرد.]
دربارهی وضعیتِ حاضرِ جهان—مانند وجودِ زمینی که بر آن زندگی میکنیم و گالیله آزمایشهایش را روی آن انجام داد، وجودِ خورشید و همهی پیرامونِ ما—قوانین طبیعت کاملاً خاموشاند. این با نکتهی دیگری سازگار است: نخست اینکه قوانین طبیعت فقط در شرایط استثنایی میتوانند برای پیشبینی رویدادهای آینده به کار روند—یعنی زمانی که همهی تعیینکنندههای مربوطِ وضعیت حاضر معلوم باشند. و دوم اینکه ساختنِ ماشینهایی که عملکردشان قابل پیشبینی است، چشمگیرترین دستاورد فیزیکدان به شمار میآید. در این ماشینها، فیزیکدان وضعیتی میآفریند که در آن همهی مختصاتِ مربوط معلوماند، تا رفتار ماشین قابل پیشبینی باشد. رادارها و رآکتورهای هستهای نمونههایی از این ماشینها هستند.
هدف اصلیِ بحثِ پیشگفته این است که نشان دهد قوانین طبیعت همگی گزارههایی شرطیاند و فقط به بخش بسیار کوچکی از دانستههای ما دربارهی جهان مربوط میشوند. از این رو، مکانیک کلاسیک—که شناختهشدهترین نمونهی یک نظریهی فیزیکی است—مشتقهای دومِ مختصات مکانیِ همهی اجسام را بر پایهی دانستنِ مکانها و … آن اجسام به دست میدهد. اما هیچ اطلاعاتی دربارهی وجود داشتنِ آن اجسام، یا مکانها و سرعتهای کنونیِ آنها نمیدهد. برای دقت باید افزود که حدود سی سال پیش دریافتیم حتی گزارههای شرطی هم نمیتوانند کاملاً دقیق باشند: گزارههای شرطی، در حقیقت، قوانین احتمالاتیاند که فقط به ما امکان میدهند بر پایهی دانستنِ وضعیت حاضر، شرطبندیهای هوشمندانهای دربارهی ویژگیهای آیندهی جهانِ بیجان انجام دهیم. آنها اجازه نمیدهند گزارههای قطعی صادر کنیم؛ حتی گزارههای قطعیِ مشروط به وضعیت حاضر هم ممکن نیست. ماهیت احتمالاتیِ «قوانین طبیعت» در مورد ماشینها نیز خود را نشان میدهد و دستکم در مورد رآکتورهای هستهای، اگر آنها را با توان بسیار پایین راهاندازی کنیم، قابل مشاهده است. با این همه، محدودیتِ اضافیِ دامنهی قوانین طبیعت که از ماهیت احتمالاتیشان ناشی میشود، در ادامهی بحث نقشی نخواهد داشت.
نقش ریاضیات در نظریههای فیزیکی
اکنون که ذهنمان را دربارهی ماهیت ریاضیات و فیزیک تازه کردهایم، باید در موقعیت بهتری باشیم تا نقش ریاضیات را در نظریههای فیزیکی مرور کنیم.
بدیهی است که در فیزیک روزمره از ریاضیات استفاده میکنیم تا نتایج قوانین طبیعت را محاسبه کنیم، تا گزارههای شرطی را به شرایط خاصی که اتفاقاً برقرار است یا مورد علاقهی ماست اعمال کنیم. برای آنکه این کار ممکن باشد، قوانین طبیعت باید از پیش به زبان ریاضی صورتبندی شده باشند. با این حال، نقشِ محاسبهی پیامدهای نظریههای از پیش تثبیتشده مهمترین نقش ریاضیات در فیزیک نیست. در این کارکرد، ریاضیات—یا دقیقتر، ریاضیات کاربردی—چندان «فرمانروای میدان» نیست؛ تنها بهعنوان ابزار خدمت میکند.
اما ریاضیات در فیزیک نقشی فرمانروایانهتر نیز بازی میکند. این نکته از همان سخنی که در بحثِ نقش ریاضیات کاربردی گفته شد برمیآید: اینکه قوانین طبیعت باید به زبان ریاضی نوشته شده باشند تا اصلاً موضوعِ بهکارگیری ریاضیات کاربردی قرار گیرند. جملهی معروفی که میگوید قوانین طبیعت به زبان ریاضیات نوشته شدهاند، سهصد سال پیش بهدرستی بیان شد [آن را به گالیله نسبت میدهند] و امروز بیش از هر زمان دیگری درست است. برای نشان دادن اهمیتِ مفاهیم ریاضی در صورتبندیِ قوانین فیزیک، کافی است بهعنوان نمونه، اصول موضوعهی مکانیک کوانتومی را آنگونه که فیزیکدان بزرگ، دیراک، بهطور صریح صورتبندی کرده است، به یاد آوریم. در مکانیک کوانتومی دو مفهوم بنیادی وجود دارد: حالتها و کمیتهای قابل مشاهده (observables). حالتها بردارهایی در فضای هیلبرتاند؛ کمیتهای قابل مشاهده عملگرهای خودالحاقی (self-adjoint) بر روی این بردارها هستند. مقادیر ممکنِ مشاهده، مقادیر ویژهی (characteristic values) این عملگرهاست—اما بهتر است همینجا متوقف شویم، مبادا وارد فهرستکردنِ مفاهیم ریاضیای شویم که در نظریهی عملگرهای خطی توسعه یافتهاند.
البته درست است که فیزیک برای صورتبندیِ قوانین طبیعت، برخی مفاهیم ریاضی را برمیگزیند و مسلماً فقط بخشی از همهی مفاهیم ریاضی در فیزیک به کار میرود. همچنین درست است که مفاهیمِ انتخابشده، بهطور دلبخواهی از یک فهرستِ اصطلاحات ریاضی انتخاب نشدهاند، بلکه در بسیاری—اگر نگوییم در اکثر—موارد، فیزیکدان آنها را مستقل از ریاضیدان پرورانده و سپس دریافته است که ریاضیدان پیشتر آنها را تصور کرده بوده است. اما این درست نیست—چنانکه بسیار گفته میشود—که این امر باید رخ میداد چون ریاضیات از سادهترین مفاهیم ممکن استفاده میکند و بنابراین این مفاهیم ناگزیر در هر صورتبندی رسمی پدیدار میشدند. همانطور که پیشتر دیدیم، مفاهیم ریاضی به خاطر «سادگی مفهومی» انتخاب نمیشوند—حتی دنبالههایی از زوجعددها هم به هیچوجه سادهترین مفاهیم نیستند—بلکه به خاطر قابلیتشان برای دستکاریهای هوشمندانه و استدلالهای درخشان و چشمگیر انتخاب میشوند. فراموش نکنیم که فضای هیلبرتِ مکانیک کوانتومی، فضای هیلبرتِ مختلط است با ضرب داخلی هرمیتی. برای ذهنِ بیپیشداوری، اعداد مختلط به هیچ وجه طبیعی یا ساده نیستند و نمیتوانند از مشاهدههای فیزیکی پیشنهاد شوند. افزون بر این، استفاده از اعداد مختلط در اینجا یک «ترفند محاسباتی» در ریاضیات کاربردی نیست، بلکه تا حدی نزدیک به ضرورت در صورتبندیِ قوانین مکانیک کوانتومی است. و سرانجام، اکنون چنین به نظر میرسد که نه تنها اعداد مختلط، بلکه توابع موسوم به تحلیلی نیز محکوماند نقشی تعیینکننده در صورتبندی نظریهی کوانتومی بازی کنند. مقصودم نظریهی بهسرعت در حال رشدِ «روابط پاشندگی» (dispersion relations) است.
به دشواری میتوان از این برداشت گریخت که در اینجا با معجزهای روبهرو هستیم—معجزهای که از نظر شگفتی قابل قیاس است با معجزهی تواناییِ ذهن انسان برای کنار هم نشاندنِ هزار استدلال بدون افتادن به تناقض، یا با دو معجزهی وجود داشتنِ قوانین طبیعت و تواناییِ ذهن انسان برای حدس زدنِ آنها. نزدیکترین مشاهدهای که من میشناسم و تا حدی به توضیحِ ظهور مفاهیم ریاضی در فیزیک نزدیک میشود، سخنِ اینشتین است که میگوید: تنها نظریههای فیزیکیای را میپذیریم که زیبا باشند. میتوان استدلال کرد مفاهیم ریاضی که مجال چنین بذلهکاریها و زیرکیهای ذهنی را میدهند، واجد کیفیتِ زیباییاند. با این حال، سخنِ اینشتین نهایتاً میتواند ویژگیهای نظریههایی را توضیح دهد که ما مایلیم به آنها باور داشته باشیم، و هیچ ارجاعی به «دقت ذاتی» نظریه ندارد. بنابراین، اکنون به این پرسشِ اخیر میپردازیم.
آیا موفقیتِ نظریههای فیزیکی واقعاً شگفتآور است؟
یک توضیحِ ممکن برای اینکه فیزیکدان از ریاضیات برای صورتبندیِ قوانین طبیعت استفاده میکند این است که او تا حدی آدمِ «بیملاحظهای» است. بنابراین، وقتی میان دو کمیت رابطهای پیدا میکند که شبیهِ رابطهای آشنا در ریاضیات است، فوراً به این نتیجه میپرد که این همان رابطهای است که در ریاضیات بحث میشود—صرفاً چون رابطهی مشابهِ دیگری سراغ ندارد. هدفِ بحثِ حاضر این نیست که این اتهام را رد کند که فیزیکدان تا حدی بیملاحظه است. شاید واقعاً هم باشد. با این حال، مهم است تأکید کنیم که صورتبندیِ ریاضیِ تجربههای غالباً خام و زمختِ فیزیکدان، در شمار شگفتانگیزی از موارد به توصیفی حیرتآور دقیق از یک طبقهی بزرگ از پدیدهها میانجامد. این نشان میدهد که زبانِ ریاضی چیزی بیش از این برای توصیه کردن دارد که «تنها زبانی است که بلدیم حرف بزنیم»؛ نشان میدهد که این زبان، به معنایی بسیار واقعی، زبانِ درست است. چند مثال را در نظر بگیریم.
مثال اول: حرکتِ سیارهها مثال نخست همان مثالِ مشهورِ حرکتِ سیارههاست. قوانینِ سقوطِ اجسام، عمدتاً بر اثر آزمایشهایی که بهویژه در ایتالیا انجام شد، تا حدی خوب تثبیت گردید. این آزمایشها نمیتوانستند از نظر دقت، آنگونه که امروز دقت را میفهمیم، بسیار دقیق باشند؛ بخشی به دلیل اثرِ مقاومتِ هوا و بخشی هم به سببِ ناتوانیِ آن زمان در اندازهگیریِ بازههای زمانیِ کوتاه. با این همه، تعجبی ندارد که دانشمندانِ طبیعیِ ایتالیایی در نتیجهی این مطالعات با شیوههایی که اجسام در جو حرکت میکنند آشنایی پیدا کردند. سپس نیوتن بود که قانونِ سقوطِ آزاد را با حرکتِ ماه مرتبط کرد، متوجه شد که سهمیِ مسیرِ سنگِ پرتابشده روی زمین و دایرهی مسیرِ ماه در آسمان، حالتهای خاصی از یک «شیء ریاضیِ واحد»، یعنی بیضی هستند، و بر پایهی تنها یک همزمانیِ عددی—که در آن زمان بسیار تقریبی بود—قانونِ جهانیِ گرانش را مطرح کرد. از دیدگاه فلسفی، قانونِ گرانشِ نیوتن، هم برای زمانهی او و هم برای خودِ او ناخوشایند و حتی چندشآور بود. از نظر تجربی، بر مشاهدههایی بسیار اندک تکیه داشت. زبانِ ریاضیای که این قانون در آن صورتبندی شد، مفهومِ مشتقِ دوم را در خود داشت؛ و کسانی از ما که کوشیدهایم بر یک منحنی دایرهی مماس (osculating circle) رسم کنیم میدانیم مشتقِ دوم مفهومی نیست که بیواسطه و سرراست به ذهن بیاید. قانونی که نیوتن با اکراه بنا کرد و توانست آن را با دقتی حدود ۴٪ بیازماید، بعداً ثابت کرد دقتی بهتر از یک دههزارمِ درصد دارد؛ و آنچنان با تصورِ «دقت مطلق» گره خورد که فقط در همین اواخر فیزیکدانها دوباره آنقدر جسور شدند که از محدودیتهای دقتِ آن پرسوجو کنند. [برای نمونه بنگرید به: R. H. Dicke, Am. Sci., 25 (1959).] بیتردید، نمونهی قانونِ نیوتن که بارها و بارها نقل شده، باید نخستین مثال باشد: نمونهای عظیم از قانونی که با اصطلاحاتی صورتبندی شد که برای ریاضیدان ساده به نظر میآیند، اما دقتش بسیار فراتر از هر انتظارِ معقولی از آب درآمده است. بگذارید گزارهی خود را دربارهی همین مثال جمعبندی کنیم: نخست، این قانون—بهویژه چون مشتقِ دوم در آن ظاهر میشود—فقط برای ریاضیدان ساده است، نه برای عقلِ سلیم یا دانشجوی سالِ اولِ غیرریاضیمشرب؛ دوم، این یک قانونِ شرطی با دامنهای بسیار محدود است. این قانون هیچ چیز دربارهی خودِ زمین که سنگهای گالیله را جذب میکند، یا دربارهی شکلِ دایرهایِ مدارِ ماه، یا دربارهی سیارههای منظومهی شمسی توضیح نمیدهد. توضیحِ این شرایط اولیه به زمینشناس و اخترشناس واگذار میشود، و آنها هم کارِ سختی با آن دارند.
مثال دوم: مکانیک کوانتومیِ معمول و ابتدایی مثال دوم مربوط به مکانیک کوانتومیِ معمول و ابتدایی است. این نظریه از آنجا آغاز شد که ماکس بورن متوجه شد برخی قواعدِ محاسبه که هایزنبرگ داده بود، از نظر صوری کاملاً همانندِ قواعدِ محاسبه با ماتریسهاست—قواعدی که خیلی پیشتر ریاضیدانان تثبیت کرده بودند. سپس بورن، جردن و هایزنبرگ پیشنهاد کردند که متغیرهای مکان و تکانه را در معادلات مکانیک کلاسیک با ماتریسها جایگزین کنند. آنها قواعدِ مکانیک ماتریسی را روی چند مسئلهی بسیار ایدهآلشده به کار بردند و نتایج کاملاً رضایتبخش بود. اما در آن زمان هیچ شاهد عقلانیای وجود نداشت که مکانیک ماتریسیِ آنان در شرایط واقعگرایانهتر هم درست از کار درخواهد آمد. حتی خودشان میگویند: «اگر مکانیکی که اینجا پیشنهاد میشود، در ویژگیهای اساسیاش درست باشد…». در واقع، نخستین کاربردِ این مکانیک در یک مسئلهی واقعگرایانه—یعنی اتم هیدروژن—چند ماه بعد توسط پائولی ارائه شد. این کاربرد نتایجی هماهنگ با تجربه داد. این رضایتبخش بود، اما هنوز قابل فهم بود، چون قواعد محاسبهی هایزنبرگ از مسئلههایی استخراج شده بود که نظریهی قدیمیِ اتم هیدروژن را نیز در بر میگرفت. معجزه وقتی رخ داد که مکانیک ماتریسی—یا نظریهای که از نظر ریاضی با آن معادل بود—به مسئلههایی اعمال شد که قواعد محاسبهی هایزنبرگ در آنها بیمعنا بود. قواعد هایزنبرگ پیشفرض میگرفت که معادلات حرکتِ کلاسیک، حلهایی با ویژگیهای تناوبیِ خاص دارند؛ اما معادلات حرکتِ دو الکترونِ اتم هلیوم، یا تعداد حتی بیشترِ الکترونها در اتمهای سنگینتر، اصلاً چنین ویژگیهایی ندارند؛ پس قواعد هایزنبرگ به این موارد قابل اعمال نیست. با این وجود، محاسبهی پایینترین ترازِ انرژیِ هلیوم—که چند ماه پیش در کورنل توسط کینوشیتا و در ادارهی استانداردها توسط بیزلی انجام شد—با دادههای تجربی، در حدِ دقتِ خودِ مشاهدهها، یعنی یک در ده میلیون، توافق دارد. در این مورد واقعاً «چیزی از معادلات بیرون کشیدیم» که «در آنها نگذاشته بودیم». همین سخن دربارهی ویژگیهای کیفیِ «طیفهای پیچیده» نیز صادق است—یعنی طیفهای اتمهای سنگینتر. میخواهم گفتوگویی را با جردن یادآوری کنم که به من گفت: وقتی ویژگیهای کیفیِ طیفها از نظریه کوانتومی به دست آمد، اگر میان قواعدِ حاصل از نظریهی مکانیک کوانتومی و قواعدی که پژوهش تجربی تثبیت کرده بود ناسازگاری پیش میآمد، آخرین فرصت برای تغییرِ چارچوبِ مکانیک ماتریسی فراهم میشد. به بیان دیگر، جردن احساس میکرد اگر در نظریهی هلیوم ناسازگاریِ غیرمنتظرهای رخ میداد، ما دستکم موقتاً درمانده میشدیم. در آن زمان این نظریه توسط کلنر و هیلرآس توسعه داده میشد. صورتبندی ریاضی آنقدر عزیز و دستنخورده بود که اگر «معجزهی هلیوم» که پیشتر ذکر شد رخ نداده بود، بحرانی واقعی پدید میآمد. البته فیزیک به هر حال از آن بحران، به شکلی، عبور میکرد. اما از سوی دیگر درست است که فیزیکِ امروزِ ما بدون تکرار پیوستهی معجزههایی شبیه معجزهی اتم هلیوم ممکن نبود—معجزهای که شاید چشمگیرترین معجزه در جریانِ رشدِ مکانیک کوانتومیِ ابتدایی بوده است، اما به هیچ وجه تنها معجزه نیست. در واقع، از نگاه ما شمار معجزههای مشابه فقط به میزانِ آمادگیِ ما برای جستوجوی نمونههای بیشتر محدود میشود. با این همه، مکانیک کوانتومی موفقیتهای بسیار دیگری نیز داشت که تقریباً به همان اندازه شگفتانگیز بودند و به ما این یقینِ استوار را دادند که این نظریه «درست» است—به آن معنایی که ما از واژهی درست مراد میکنیم.
مثال آخر: الکترودینامیک کوانتومی (نظریهی جابهجایی لَمب) مثال آخر مربوط به الکترودینامیک کوانتومی است، یا نظریهی «جابهجایی لَمب». در حالی که نظریهی گرانش نیوتن هنوز پیوندهای آشکاری با تجربه داشت، تجربه در صورتبندی مکانیک ماتریسی فقط به شکل پالودهشده و تصعیدشدهی دستورالعملهای هایزنبرگ وارد میشد. اما نظریهی کوانتومیِ جابهجایی لَمب—آنگونه که بِته آن را طرح کرد و شوئینگر آن را استقرار داد—یک نظریهی کاملاً ریاضی است و تنها سهمِ مستقیمِ آزمایش این بود که وجودِ اثری قابل اندازهگیری را نشان داد. توافقِ محاسبه با مشاهده بهتر از یک در هزار است. سه مثالِ بالا—که میتوان آنها را تقریباً بیپایان تکثیر کرد—باید نشان دهد که صورتبندیِ ریاضیِ قوانین طبیعت با مفاهیمی که به خاطر قابلیتِ دستکاریشان برگزیده شدهاند، چهقدر مناسب و دقیق است؛ «قوانین طبیعت» از دقتی تقریباً خیالانگیز برخوردارند، اما دامنهای بهشدت محدود دارند. میخواهم مشاهدهای را که این مثالها نشان میدهند «قانونِ تجربیِ معرفتشناسی» بنامم. این قانون، همراه با قوانینِ ناورداییِ نظریههای فیزیکی، بنیانی ضروری برای این نظریههاست. بدون قوانین ناوردایی، نظریههای فیزیکی هیچ بنیانِ واقعگرایانهای نمییافتند؛ و اگر قانونِ تجربیِ معرفتشناسی درست نبود، ما از آن تشویق و اطمینانی که نیازهای عاطفیاند محروم میشدیم—نیازهایی که بدون آنها کاوشِ موفقِ «قوانین طبیعت» ممکن نبود. دکتر آر. جی. ساکس، که من دربارهی قانون تجربی معرفتشناسی با او گفتوگو کردم، آن را «اصلِ ایمانیِ فیزیکدان نظری» نامید—و حقیقتاً هم همین است. با این حال، آنچه او «اصلِ ایمانی» ما نامید، با مثالهای واقعی بهخوبی پشتیبانی میشود—مثالهای فراوان، بسیار بیش از همین سه موردی که ذکر شد.
یگانگیِ نظریههای فیزیک به نظر من، تجربی بودنِ مشاهدهی پیشگفته بدیهی است. این نکته قطعاً یک «ضرورتِ اندیشه» نیست؛ و برای اثبات اینکه چنین ضرورتی نیست، لازم هم نیست یادآوری کنیم که این قانون فقط به بخشِ بسیار کوچکی از دانستههای ما دربارهی جهانِ بیجان مربوط میشود. باور کردنِ اینکه وجودِ عبارتهای ریاضیِ ساده برای مشتقِ دومِ مکان «بدیهی» است، در حالی که هیچ عبارت مشابهی برای خودِ مکان یا برای سرعت وجود ندارد، باورِ پوچی است. بنابراین شگفتآور است که این موهبتِ شگفتانگیزِ نهفته در قانون تجربی معرفتشناسی تا چه اندازه آسان «بدیهی انگاشته» شده است. توانایی ذهن انسان که بتواند زنجیرهای از هزار نتیجه بسازد و باز هم «درست» بماند—که پیشتر به آن اشاره شد—موهبتی مشابه است. هر قانون تجربیای، ناآرامیِ ویژهی خود را دارد: این امکان که روزی قوانینِ بیشتری کشف شود و همهی آنها در نهایت در یک واحدِ سازگار ادغام شوند، یا دستکم بهطور حدی و تدریجی به سوی چنین ادغامی نزدیک شوند. از سوی دیگر، ممکن است همیشه قوانینی از طبیعت وجود داشته باشد که هیچ اشتراکی با هم نداشته باشند. در حال حاضر، برای مثال، چنین وضعی میان قوانین وراثت و قوانین فیزیک برقرار است. حتی ممکن است برخی قوانین طبیعت از نظر پیامدها با یکدیگر در تعارض باشند، اما هر کدام در حوزهی خودش آنقدر قانعکننده باشد که حاضر نباشیم هیچیک را کنار بگذاریم. شاید با چنین وضعی کنار بیاییم، یا علاقهمان به رفعِ تعارض میان نظریههای گوناگون فروکش کند. ممکن است علاقهمان به «حقیقت نهایی» را از دست بدهیم—یعنی به تصویری که ادغامی سازگار در یک واحدِ یگانه از «تصویرهای کوچک» مربوط به جنبههای گوناگون طبیعت باشد. برای روشنتر کردن گزینهها، شاید یک مثال مفید باشد. اکنون در فیزیک دو نظریهی بسیار نیرومند و جذاب داریم: نظریهی پدیدههای کوانتومی و نظریهی نسبیت. این دو نظریه ریشه در دو گروهِ پدیده دارند که با هم ناسازگارند. نسبیت دربارهی اجسام ماکروسکوپی مانند ستارگان به کار میرود. «رخداد همزمانی»—که در تحلیل نهایی همان برخورد است—رخدادِ بنیادین در نسبیت است و یک نقطه در فضا-زمان را تعریف میکند؛ یا دستکم اگر ذراتِ برخوردکننده بینهایت کوچک بودند، چنین نقطهای را تعریف میکرد. نظریهی کوانتومی ریشه در جهانِ میکروسکوپی دارد و از دیدگاه آن، رخداد همزمانی یا برخورد—even اگر میان ذراتی بدون بُعد مکانی رخ دهد—رخدادی بنیادین نیست و به هیچ وجه در فضا-زمان بهصورت تیز و کاملاً جداافتاده تعریف نمیشود. این دو نظریه با مفاهیم ریاضیِ متفاوتی کار میکنند: یکی با فضای ریمانیِ چهاربعدی و دیگری با فضای هیلبرتِ بینهایتبُعد. تا اینجا این دو نظریه نتوانستهاند متحد شوند؛ یعنی هیچ صورتبندی ریاضیای وجود ندارد که هر دو نظریه تقریبهایی از آن باشند. همهی فیزیکدانها باور دارند که وحدتِ این دو نظریه ذاتاً ممکن است و ما آن را خواهیم یافت. با این حال، میتوان تصور کرد که هیچ وحدتی میان آنها یافت نشود. این مثال دو امکانِ پیشگفته را نشان میدهد: امکانِ وحدت و امکانِ تعارض—و هر دو قابل تصورند. برای آنکه نشانهای به دست آوریم که در نهایت کدام گزینه محتملتر است، میتوانیم وانمود کنیم کمی نادانتر از آنیم که واقعاً هستیم و خود را در سطحی پایینتر از دانشی قرار دهیم که اکنون داریم. اگر بتوانیم در آن سطح پایینترِ هوش، ادغامِ نظریهها را پیدا کنیم، با اطمینان میتوان انتظار داشت که در سطح واقعیِ هوش خود نیز ادغام را خواهیم یافت. اما اگر در سطحی پایینتر از دانش به نظریههای متناقض برسیم، دیگر نمیتوان امکانِ پایدار ماندنِ نظریههای متعارض را برای خودمان هم رد کرد. سطح دانش و نبوغ یک کمیت پیوسته است، و بعید است تغییر کوچکی در این کمیتِ پیوسته، تصویر دستیافتنیِ ما از جهان را از «ناسازگار» به «سازگار» تبدیل کند. [این بند پس از تردید بسیار نوشته شده است. نویسنده یقین دارد که در بحثهای معرفتشناختی، مفید است از این ایدهآلسازی دست برداریم که سطح هوش انسانی جایگاهی یگانه و ثابت روی یک مقیاس مطلق دارد. در برخی موارد حتی ممکن است مفید باشد دستاوردهای ممکن در سطح هوشِ گونهای دیگر را هم در نظر بگیریم. با این حال، نویسنده نیز میپذیرد که اندیشهاش در مسیرِ اشارهشده در متن، بسیار کوتاه بوده و آنقدر که باید به نقد گذاشته نشده تا قابل اتکا باشد.] از این زاویه، این واقعیت که بعضی نظریههایی که میدانیم نادرستاند، نتایجی چنان شگفتآور دقیق به دست میدهند، یک عاملِ نامطلوب است. اگر دانشمان اندکی کمتر بود، گروه پدیدههایی که این نظریههای «نادرست» توضیح میدهند، برایمان آنقدر بزرگ به نظر میرسید که این نظریهها را «اثبات» کند. اما ما این نظریهها را درست به این دلیل نادرست میدانیم که در تحلیل نهایی با تصویرهای فراگیرتر ناسازگارند؛ و اگر به اندازهی کافی از این نظریههای نادرست کشف شود، ناگزیر خودِ آنها هم با یکدیگر در تعارض خواهند افتاد. به همین قیاس، ممکن است نظریههایی که ما آنها را بر پایهی تعدادِ کافیِ توافقهای عددی «اثباتشده» میپنداریم، در واقع نادرست باشند، چون با نظریهای فراگیرتر که فراتر از توان کشف ماست، تعارض دارند. اگر چنین باشد، باید انتظار داشته باشیم همین که شمار نظریهها از حدی بگذرد و حوزههای پدیدههای بسیاری را پوشش دهد، تعارضها میان نظریهها آشکار شود. در مقابلِ «اصلِ ایمانی» فیزیکدان نظری که پیشتر گفتیم، این وضعیت کابوسِ نظریهپرداز است. چند نمونه از نظریههای «نادرست» را در نظر بگیریم که با توجه به نادرستیشان، توصیفهایی هشداردهنده دقیق از گروهی از پدیدهها به دست میدهند. با قدری ارفاق، میتوان برخی شواهدِ این مثالها را کنار گذاشت. موفقیتِ ایدههای آغازین و پیشگامانهی بور دربارهی اتم همیشه دامنهای نسبتاً محدود داشت؛ دربارهی اپیسیکلهای بطلمیوس نیز همینطور. دیدگاه امروزِ ما توصیف دقیقی از تمام پدیدههایی میدهد که آن نظریههای ابتدایی میتوانستند توصیف کنند. اما این دیگر دربارهی نظریهی موسوم به «الکترونِ آزاد» صادق نیست؛ نظریهای که تصویری شگفتآور دقیق از بسیاری—اگر نگوییم بیشتر—ویژگیهای فلزها، نیمهرساناها و عایقها ارائه میدهد. بهخصوص این نظریه توضیح میدهد که چرا عایقها مقاومت ویژهای در برابر برق نشان میدهند که میتواند تا 10^26 برابرِ مقاومتِ فلزها بزرگتر باشد—چیزی که بر پایهی «نظریهی واقعی» هرگز درست فهمیده نشده بود. در واقع، هیچ شاهد تجربیای وجود ندارد که نشان دهد مقاومت تحت شرایطی که نظریهی الکترون آزاد ما را به انتظارِ مقاومتِ بینهایت میبرد، واقعاً بینهایت نیست. با این همه، ما یقین داریم که نظریهی الکترون آزاد یک تقریبِ خام است که باید در توصیف همهی پدیدههای مربوط به جامدات با تصویری دقیقتر جایگزین شود. اگر از دیدگاه واقعیِ امروز به این وضعیت نگاه کنیم، حالتِ ناشی از نظریهی الکترون آزاد آزاردهنده است، اما احتمالاً نویدِ ناسازگاریهایی را نمیدهد که از توان ما خارج باشد. این نظریه تردیدهایی برمیانگیزد دربارهی اینکه تا چه اندازه باید توافقِ عددی میان نظریه و آزمایش را بهعنوان شاهدِ درستیِ نظریه جدی بگیریم. ما به چنین تردیدهایی خو گرفتهایم. اما وضعیتی بسیار دشوارتر و گیجکنندهتر پیش میآمد اگر روزی میتوانستیم نظریهای دربارهی پدیدههای آگاهی یا زیستشناسی بنا کنیم که به اندازهی نظریههای کنونیِ ما دربارهی جهان بیجان، منسجم و قانعکننده باشد. قوانین وراثتِ مندل و کارهای بعدی دربارهی ژنها شاید آغازِ چنین نظریهای—دستکم در زیستشناسی—باشد. افزون بر این، کاملاً ممکن است استدلالی بسیار انتزاعی پیدا شود که نشان دهد میان چنین نظریهای و اصول پذیرفتهشدهی فیزیک تعارضی وجود دارد. این استدلال میتواند آنقدر انتزاعی باشد که نتوان با آزمایش، تعارض را به سودِ یکی از دو نظریه حل کرد. چنین وضعی فشار سنگینی بر ایمان ما به نظریههایمان و بر باورمان به واقعیتِ مفاهیمی که میسازیم وارد میکرد. در جستوجوی آنچه «حقیقت نهایی» نامیدم، احساس عمیقی از ناکامی به ما میداد. دلیل اینکه چنین وضعی قابل تصور است این است که در بنیاد، ما نمیدانیم چرا نظریههایمان اینقدر خوب کار میکنند. از این رو، دقتِ آنها ممکن است حقیقت و سازگاریشان را تضمین نکند. در واقع، نویسندهی این سطور باور دارد چیزی تا حدی شبیه به وضعِ توصیفشدهی بالا، همین حالا هم وجود دارد، اگر قوانین کنونیِ وراثت و قوانین فیزیک را در برابر هم قرار دهیم. بگذارید با لحنی شادتر پایان دهم. معجزهی مناسب بودنِ زبانِ ریاضیات برای صورتبندیِ قوانین فیزیک، هدیهای شگفتانگیز است که نه آن را میفهمیم و نه سزاوارش هستیم. باید بابت آن سپاسگزار باشیم و امید داشته باشیم که در پژوهشهای آینده همچنان معتبر بماند و—خوب یا بد—به شاخههای گستردهای از دانش نیز گسترش یابد؛ به خوشیِ ما، هرچند شاید همراه با سردرگمیِ ما.